From b18134cca36d5611a2e1f3ca21363c85bb74f142 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Apostolof Date: Mon, 1 Oct 2018 13:00:02 +0300 Subject: [PATCH] Init band elimination report matlab part --- .../3_band_elimination/3_band_elimination.pug | 76 +++++ .../3_band_elimination_design.pug | 307 ++++++++++++++++++ ...ination_general_transfer_function_plot.svg | 291 +++++++++++++++++ ...b_band_elimination_chebyshev_zero_pole.svg | 265 +++++++++++++++ report/report.pug | 4 +- 5 files changed, 941 insertions(+), 2 deletions(-) create mode 100644 report/3_band_elimination/3_band_elimination.pug create mode 100644 report/3_band_elimination/3_band_elimination_design.pug create mode 100644 report/3_band_elimination/assets/diagrams/band_elimination_general_transfer_function_plot.svg create mode 100644 report/3_band_elimination/assets/diagrams/matlab_band_elimination_chebyshev_zero_pole.svg diff --git a/report/3_band_elimination/3_band_elimination.pug b/report/3_band_elimination/3_band_elimination.pug new file mode 100644 index 0000000..26c71db --- /dev/null +++ b/report/3_band_elimination/3_band_elimination.pug @@ -0,0 +1,76 @@ +div(style="page-break-before:always") +// Chapter title +h2 Ζωνοφρακτικό φίλτρο Chebyshev +br/ + +// Chapter description/introduction +p. + Με βάση τον αριθμό ΑΕΜ (8261), υπολογίστηκαν οι προδιαγραφές του ζωνοφρακτικού φίλτρου προς σχεδίαση: + +figure.block-center.width-15cm + table.ui.celled.table.teal.striped.center.aligned + thead + tr + th Προδιαγραφή + th Τιμή + tbody + tr + td Central frequency (f#[sub 0]) + td 2500 Hz + tr + td Central radial frequency (ω#[sub 0]) + td 15707.963 rad/s + tr + td Low pass frequency (f#[sub 1]) + td 1950 Hz + tr + td Low pass radial frequency (ω#[sub 1]) + td 12252.211 rad/s + tr + td High pass frequency (f#[sub 2]) + td 3205.128 Hz + tr + td High pass radial frequency (ω#[sub 2]) + td 20138.414 rad/s + tr + td Low stop frequency (f#[sub 3]) + td 2261.546 Hz + tr + td Low stop radial frequency (ω#[sub 3]) + td 14209.71 rad/s + tr + td High stop frequency (f#[sub 4]) + td 2763.597 Hz + tr + td High stop radial frequency (ω#[sub 4]) + td 17364.191 rad/s + tr + td Frequency bandwidth (bw) + td 1255.128 Hz + tr + td Radial frequency bandwidth (bw) + td 7886.203 rad/s + tr + td Min stop attenuation (a#[sub min]) + td 29.334 dB + tr + td Max pass attenuation (a#[sub max]) + td 0.556 dB + figcaption + .reference #[span.table-count] + .caption. + Προδιαγραφές σχεδίασης ζωνοφρακτικού φίλτρου + +figure.block-center.width-15cm + img(src="3_band_elimination/assets/diagrams/band_elimination_general_transfer_function_plot.svg").width-15cm + figcaption + .reference #[span.plot-count] + .caption.title. + Ποιοτικό γράφημα συνάρτησης μεταφοράς ζωνοφρακτικού Chebyshev φίλτρου. + .caption. + Στο γράφημα φαίνονται οι συχνότητες που ορίζουν τη ζώνη αποκοπής (f#[sub 3]/ω#[sub 3] και f#[sub 4]/ω#[sub 4]) και τη ζώνη διόδου (f#[sub 1]/ω#[sub 1] και f#[sub 2]/ω#[sub 2]), καθώς και οι προδιαγραφές α#[sub min] και α#[sub max]. + +// Sub-Chapters +include 3_band_elimination_design +//- include 1_low_pass_transfer_function_matlab +//- include 1_low_pass_transfer_function_multisim diff --git a/report/3_band_elimination/3_band_elimination_design.pug b/report/3_band_elimination/3_band_elimination_design.pug new file mode 100644 index 0000000..c041602 --- /dev/null +++ b/report/3_band_elimination/3_band_elimination_design.pug @@ -0,0 +1,307 @@ +div(style="page-break-before:always") +h3 Σχεδίαση φίλτρου +p. + Για τη σχεδίαση του φίλτρου ακολουθήθηκε η διαδικασία που περιγράφεται στο κεφάλαιο 13 των σημειώσεων του μαθήματος: + +figure.block-center.width-15cm + div.ui.list.ordered.celled.striped + div.item Υπολογισμός των προδιαγραφών ενός πρωτότυπου κατωδιαβατού Chebyshev φίλτρου, μέσω των προδιαγραφών του επιθυμητού ζωνοφρακτικού φίλτρου. + div.item Υπολογισμός της τάξης και της συχνότητας ημίσειας ισχύος του πρωτότυπου φίλτρου. + div.item Αντιστροφή της συνάρτησης μεταφοράς (T#[sub LP] → T#[sub HP]) και εύρεση των πόλων ενός πρωτότυπου ανωδιαβατού φίλτρου. + div.item Υπολογισμός των πόλων του πρότυπου φίλτρου Chebyshev. + div.item Υπολογισμός των πόλων και μηδενικών του ζωνοφρακτικού φίλτρου μέσω μετασχηματισμού των πόλων του πρωτότυπου ανωδιαβατού με χρήση του αλγόριθμου Geffe. + div.item Ομαδοποίηση των ζευγών συζηγών μιγαδικών πόλων και φανταστικών μηδενικών ανά δύο. Από την ομαδοποίηση προκύπτουν ζωνοφρακτικές μονάδες που υλοποιούνται με κυκλώματα Notch, LPN, HPN ανάλογα με τη σχετική θέση πόλων-μηδενικών. + div.item Υλοποίηση των φίλτρων Notch με βάση τα κυκλώματα του κεφαλαίου 7. + div.item Κλιμακοποίηση του κυκλώματος με στόχο τη μεταφορά στις πραγματικές συχνότητες και σε στοιχεία με πρακτικές (υλοποιήσιμες) τιμές. + div.item Έλεγχος των κερδών των μονάδων και ρύθμιση κέρδους με επιβολή απόσβεσης ή ενίσχυσης. + +div(style="page-break-before:always") +h4 Υπολογισμός συνάρτησης μεταφοράς + + +p Αρχικά υπολογίζεται η κεντρική συχνότητα χρησιμοποιώντας την εξίσωση #[span.course-notes-equation 13-2]: + +p.latex-equation. + $$\omega_0 = \sqrt{\omega_1\omega_2}=\sqrt{12252.211*20138.414}=15707.963\frac{\text{rad}}{\text{s}}$$ + +p. + Η κεντρική συχνότητα που υπολογίστηκε προκύπτει ίση με αυτή που δίνεται στην εκφώνηση, επιβεβαιώνεται έτσι ότι οι συχνότητες ω#[sub 1] - ω#[sub 4] υπολογίστηκαν σωστά. + +p. + Υπολογίζεται το εύρος ζώνης διόδου χρησιμοποιώντας την εξίσωση #[span.course-notes-equation 13-1]: + +p.latex-equation. + $$bw = \omega_2-\omega_1=20138.414-12252.211=7886.203\frac{\text{rad}}{\text{s}}$$ + +p. + Σχεδιάζεται ένα πρότυπο κατωδιαβατό Chebyshev φίλτρο, το οποίο αργότερα θα μετατραπεί στο πρωτότυπο ανωδιαβατό. + +p Υπολογίζονται οι προδιαγραφές του προτότυπου κατωδιαβατού χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις #[span.course-notes-equation 13-9]: + +p.latex-equation. + $$\Omega_p = 1\frac{rad}{s}$$ + και $$\Omega_S = \frac{\omega_2-\omega_1}{\omega_4-\omega_3} = \frac{7886.203}{3154.481} = 2.5\frac{rad}{s}$$ + +p Οι προδιαγραφές απόσβεσης παραμένουν ίδιες. + +p Υπολογίζεται η τάξη του φίλτρου χρησιμοποιώντας την εξίσωση #[span.course-notes-equation 9-83]: + +p.latex-equation. + $$n = \left \lceil \frac{\cosh^{-1}\bigg(\sqrt{\frac{10^{\frac{a_{min}}{10}}-1}{10^{\frac{a_{max}}{10}}-1}}\bigg)}{\cosh^{-1}\Omega_S} \right \rceil = \left \lceil \frac{\cosh^{-1}\bigg(\sqrt{\frac{10^{2.933}-1}{10^{0.05556}-1}}\bigg)}{\cosh^{-1}(2.2)} \right \rceil = \left \lceil \frac{5.06549}{1.5668} \right \rceil = \left \lceil 3.233 \right \rceil = 4$$ + +p. + Από τον παραπάνω τύπο φαίνεται ότι κατά τον υπολογισμό της τάξης του φίλτρου γίνεται στρογγυλοποίηση της τάξης προς τον επόμενο #[strong μεγαλύτερο] ακέραιο. Αυτό γίνεται επειδή δεν είναι δυνατή η υλοποίηση ενός φίλτρου ρητής τάξεως, έτσι είναι απαραίτητο η τάξη να στρογγυλοποιηθεί. Η στρογγυλοποίηση είναι σημαντικό να γίνει προς τα επάνω (ceiling) ώστε να επιτευχθούν οι προδιαγραφές του φίλτρου. Μία πιθανή στρογγυλοποίηση προς τα κάτω θα είχε ως αποτέλεσμα την αποτυχία στη σχεδίαση. + +p. + Λόγω της στρογγυλοποίησης αυτής, αναμένεται μάλιστα να υπάρχει υπερκάλυψη σε τουλάχιστον μία από τις προδιαγραφές. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, λόγω της επιλογής κανονικοποίησης ως προς το pass band, αναμένεται να υπάρχει υπερκάλυψη της προδιαγραφής a#[sub max]. + +p. + Στη συνέχεια υπολογίζονται οι παράμετροι ε και α από τις εξισώσεις #[span.course-notes-equation 9-76] και #[span.course-notes-equation 9-92] αντίστοιχα: + +p.latex-equation. + $$\varepsilon = \sqrt{10^{\frac{a_{max}}{10}}-1} = \sqrt{10^{0.05556}-1} = 0.369$$ +p.latex-equation. + $$\alpha = \frac{\sinh^{-1}(\frac{1}{\varepsilon})}{n} = \frac{\sinh^{-1}(\frac{1}{0.369})}{4} = 0.43$$ + +p. + Υπολογίζεται η κανονικοποιημένη συχνότητα ημίσειας ισχύος χρησιμοποιώντας την εξίσωση #[span.course-notes-equation 9-80]: + +p.latex-equation. + $$\Omega_{hp} = cosh(\frac{1}{n}cosh^{-1}(\frac{1}{\varepsilon})) = cosh(\frac{1}{4}cosh^{-1}(\frac{1}{0.369})) = 1.087\frac{rad}{s}$$ + +p Οι πραγματικές συχνότητες προκύπτουν μετασχηματίζοντας την κανονικοποιημένη, χρησιμοποιώντας την εξίσωση #[span.course-notes-equation 13-4]: + +p.latex-equation. + $$\begin{matrix} \Omega_{hp}=bw\frac{\omega}{\omega_0^2-\omega^2} \Rightarrow \\[1.1em] \omega^2+\frac{bw}{\Omega_{hp}}\omega-\omega_0^2 = 0 \Rightarrow \\[1.1em] \omega^2-\frac{7886.203}{1.087}\omega-(15707.963)^2 = 0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \omega_1 = 12492.86\frac{rad}{s} \\[1.1em] \omega_2 = 19750.49\frac{rad}{s} \end{matrix}\right. \end{matrix}$$ + +p. + Οι γωνίες Butterworth μπορούν να υπολογιστούν με βάση τον αλγόριθμο Guillemin ή να βρεθούν απευθείας από γνωστούς πίνακες γωνιών Butterworth. Για φίλτρο τέταρτης τάξης, οι γωνίες είναι: + +p.latex-equation. + $$\pm 22.5^\circ$$ και $$\pm 67.5^\circ$$ + +p. + Με βάση τις εξισώσεις #[span.course-notes-equation 9-102] και #[span.course-notes-equation 9-103]: + +p.latex-equation. + $$\sigma_k = -\sinh(\alpha)*\cos(\theta)$$ + $$\Omega_k = \cosh(\alpha)*\sin(\theta)$$ + +p προκύπτουν οι πόλοι Chebyshev του #[strong πρωτότυπου κατωδιαβατού φίλτρου]: + +p.latex-equation. + $$\text{Pole 1: } -0.41\pm0.419\mathrm{i}$$ + $$\text{Pole 2: } -0.17\pm1.011\mathrm{i}$$ + +p. + Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις #[span.course-notes-equation 9-106]: + +p.latex-equation. + $$\Omega_{0_k} = \sqrt{\sigma_k^2+\Omega_k^2}$$ + $$Q_k = \frac{\Omega_{0_k}}{2*\sigma_k}$$ + +p υπολογίζονται τα Ω#[sub 0] και Q των πόλων αντίστοιχα: + +p.latex-equation. + $$\text{Pole 1: } \Omega_0 = 0.586 \text{, }Q = 0.715$$ + $$\text{Pole 2: } \Omega_0 = 1.025 \text{, }Q = 3.018$$ + +p. + Οι πόλοι αντιστρέφονται χρησιμοποιώντας την εξίσωση #[span.course-notes-equation 13-14b] για τον υπολογισμό των Ω#[sub 0#[sub k]], ενώ τα Q παραμένουν ίδια: + +p.latex-equation. + $$\widehat{\Omega_{0_k}} = \frac{1}{\Omega_{0_k}}$$ + +p. + Από τον μετασχηματισμό προκύπτουν οι πόλοι του #[strong ανωδιαβατού Chebyshev]: + +p.latex-equation. + $$\text{Pole 1: } -1.194\pm1.219i\text{, }\widehat{\Omega_0} = 1.707 \text{, }Q = 0.715\text{, }\pm45.60°$$ + $$\text{Pole 2: } -0.162\pm0.962i\text{, }\widehat{\Omega_0} = 0.976 \text{, }Q = 3.018\text{, }\pm80.46°$$ + +p. + Οι πόλοι μετασχηματίζονται χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο Geffe. Κάθε ζεύγος μιγαδικών πόλων παράγει, κατά τον μετασχηματισμό, δύο νέα ζεύγη μιγαδικών πόλων με ίδιο Q και διαφορετικά ω. Οι απαραίτητες παράμετροι υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις #[span.course-notes-equation 11-6], #[span.course-notes-equation 11-28] έως και #[span.course-notes-equation 11-35], #[span.course-notes-equation 11-37b]: + +p.latex-equation. + $$\begin{matrix} 11-6: & q_c=\frac{\omega_0}{bw}\\[1em] 11-28: & C=\Sigma_2^2+\Omega_2^2\\[1em] 11-29: & D=\frac{2\Sigma_2}{q_c}\\[1em] 11-30: & E=4+\frac{C}{q_c^2}\\[1em] 11-31: & G=\sqrt{E^2-4D^2}\\[1em] 11-32: & Q=\frac{1}{D}\sqrt{\frac{1}{2}(E+G)}\\[1em] 11-33: & k=\frac{\Sigma_2Q}{q_c}\\[1em] 11-34: & W=k+\sqrt{k^2-1}\\[1em] 11-35: & \omega_{02}=W\omega_0 \hspace{3mm} \& \hspace{3mm} \omega_{01}=\frac{\omega_0}{W}\\[1em] 11-37b: & \psi_{ki}=\cos^{-1}(\frac{1}{2Q}) \end{matrix}$$ + +p. + Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι τιμές των παραμέτρων του αλγόριθμου Geffe για κάθε πόλο του πρωτότυπου φίλτρου, καθώς και οι μετασχηματισμένοι πόλοι που προκύπτουν: + +figure.block-center.width-15cm + table.ui.celled.table.teal.striped.center.aligned + thead + tr + th Παράμετρος + th Pole 1 + th Pole 2 + tbody + tr + td q#[sub c] + td 1.9918 + td 1.9918 + tr + td C + td 2.9122 + td 0.9519 + tr + td D + td 1.1989 + td 0.1623 + tr + td E + td 4.734 + td 4.2399 + tr + td G + td 4.0819 + td 4.2275 + tr + td Q + td 1.7512 + td 12.6756 + tr + td k + td 1.0498 + td 1.0288 + tr + td W + td 1.3691 + td 1.2705 + tr + td ω + td. + ω#[sub 01] = 21506 + #[br] + ω#[sub 02] = 11473 + td. + ω#[sub 03] = 19957 + #[br] + ω#[sub 04] = 12363 + tr + td ψ#[sub ki] + td ±73.41° + td ±87.74° + figcaption + .reference #[span.table-count] + .caption. + Τιμές παραμέτρων αλγόριθμου Geffe + +div(style="page-break-before:always") +p. + Επομένως από τον μετασχηματισμό προκύπτουν οι πόλοι του #[strong ζωνοδιαβατού Chebyshev]: + +p.latex-equation. + $$\text{Pole 1: } \omega_0 = 21505.945 \text{, }Q = 1.751$$ + $$\text{Pole 2: } \omega_0 = 11473.112 \text{, }Q = 1.751$$ + $$\text{Pole 3: } \omega_0 = 19957.291 \text{, }Q = 12.676$$ + $$\text{Pole 4: } \omega_0 = 12363.407 \text{, }Q = 12.676$$ + +p. + Κατά τον μετασχηματισμό προκύπτουν επίσης, με βάση την εξίσωση: + +p.latex-equation. + $$z_k = 0\pm\omega_0\mathrm{i} \text{,}\hspace{2mm} k=1,2,...,n$$ + +p. + τα φανταστικά συζηγή μηδενικά της συνάρτησης μεταφοράς: + +p.latex-equation. + $$\text{Zero 1: } 0\pm15707.963\mathrm{i}$$ + $$\text{Zero 2: } 0\pm15707.963\mathrm{i}$$ + $$\text{Zero 3: } 0\pm15707.963\mathrm{i}$$ + $$\text{Zero 4: } 0\pm15707.963\mathrm{i}$$ + +p. + Οι πόλοι και τα μηδενικά του φίλτρου φαίνονται στο παρακάτω διάγραμμα: + +figure.block-center.width-19cm + img(src="3_band_elimination/assets/diagrams/matlab_band_elimination_chebyshev_zero_pole.svg").width-19cm + figcaption + .reference #[span.plot-count] + .title. + Πόλοι και μηδενικά του Chebyshev. + .caption. + Παρατηρείται ότι τα ζεύγη μιγαδικών πόλων έχουν, ανά δύο, το ίδιο Q (ίδια γωνία). + +p. + Οι πόλοι και τα μηδενικά ομαδοποιούνται όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα: + +figure.block-center + .ui.grid + .two.wide.column + .three.wide.column + .row + img(src="1_low_pass/assets/diagrams/inverse_chebyshev_unit_1_zero_pole_grouping.svg")/ + .row.top-7mm + img(src="1_low_pass/assets/diagrams/low_pass_notch_unit_diagram.svg")/ + .row.top-5mm + p.center #[strong Unit 1] + .six.wide.column + .three.wide.column + .row + img(src="1_low_pass/assets/diagrams/inverse_chebyshev_unit_2_zero_pole_grouping.svg")/ + .row.top-7mm + img(src="1_low_pass/assets/diagrams/low_pass_notch_unit_diagram.svg")/ + .row.top-5mm + p.center #[strong Unit 2] + .two.wide.column + figcaption + .reference #[span.plot-count] + .caption. + Ομαδοποίηση πόλων-μηδενικών + +h4 Υλοποίηση συνάρτησης μεταφοράς + +p. + Από τον αριθμό ΑΕΜ (8261) υποδεικνύεται η χρήση των κυκλωμάτων high pass notch και low pass notch του κεφαλαίου 7, με χρήση των κυκλωμάτων των σχημάτων 7.21 και 7.23. + +h4 Συναρτήσεις μεταφοράς + +p. + Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι συναρτήσεις μεταφοράς των επιμέρους μονάδων που υπολογίστηκαν παραπάνω: + +figure.block-center.width-15cm + table.ui.celled.table.teal.striped.center.aligned + thead + tr + th Μονάδα + th Συνάρτηση μεταφοράς + tbody + tr + td Πρώτη μονάδα (Unit 1) + td. + $$T_{BP(s)}^1 =-\frac{795.697s}{s^2+542.1426s+35270884.89}$$ + tr + td Δεύτερη μονάδα (Unit 2) + td. + $$T_{BP(s)}^2 =-\frac{721.397s}{s^2+491.5187s+28991510.41}$$ + tr + td Τρίτη μονάδα (Unit 3) + td. + $$T_{BP(s)}^3 =-\frac{1524.1s}{s^2+239.223s+40486530.84}$$ + tr + td Τέταρτη μονάδα (Unit 4) + td. + $$T_{BP(s)}^4 =-\frac{1203.7s}{s^2+188.933s+25255181.75}$$ + figcaption + .reference #[span.table-count] + .caption. + Συναρτήσεις μεταφοράς των επιμέρους μονάδων + +p. + Η συνολική συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου υπολογίζεται: + +p.latex-equation. + $$\begin{align*} + T_{BP(s)} &= T_{BP(s)}^1T_{BP(s)}^2T_{BP(s)}^3T_{BP(s)}^4 \\[3.5mm] &=\frac{1.053*10^{12}*s^4}{s^8+1461.8*s^7+1.3076*10^{8}*s^6+1.4238*10^{11}*s^5+6.3188*10^{15}*s^4+} \hspace{3mm}\text{...} \\[3.5mm] &\text{...}\hspace{3mm}\frac{1.053*10^{12}*s^4}{+4.5529*10^{18}*s^3+1.3371*10^{23}*s^2+4.78*10^{25}*s+1.04556*10^{30}} \end{align*}$$ + +p. + Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το τελικό κύκλωμα του φίλτρου: + +figure.block-center.width-19cm + img(src="2_band_pass/assets/diagrams/multisim_band_pass_chebyshev_circuit_layout_only_filter.svg").width-19cm + figcaption + .reference #[span.plot-count] + .caption. + Κύκλωμα κατωδιαβατού φίλτρου diff --git a/report/3_band_elimination/assets/diagrams/band_elimination_general_transfer_function_plot.svg b/report/3_band_elimination/assets/diagrams/band_elimination_general_transfer_function_plot.svg new file mode 100644 index 0000000..d1d9091 --- /dev/null +++ b/report/3_band_elimination/assets/diagrams/band_elimination_general_transfer_function_plot.svg @@ -0,0 +1,291 @@ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +Gain +Frequency + + + + + + + +f +3 +/ω +3 +f +4 +/ω +4 +f +1 +/ω +1 +f +2 +/ω +2 +α +max +α +min + diff --git a/report/3_band_elimination/assets/diagrams/matlab_band_elimination_chebyshev_zero_pole.svg b/report/3_band_elimination/assets/diagrams/matlab_band_elimination_chebyshev_zero_pole.svg new file mode 100644 index 0000000..6b36b96 --- /dev/null +++ b/report/3_band_elimination/assets/diagrams/matlab_band_elimination_chebyshev_zero_pole.svg @@ -0,0 +1,265 @@ + + +-2-1.6-1.2-0.8-0.40.40.81.21.62#104Zero-Poles plot4 zeros4 zerosω01ω02ω03ω04ω01ω02ω03ω04 diff --git a/report/report.pug b/report/report.pug index dd1df46..cd607c8 100644 --- a/report/report.pug +++ b/report/report.pug @@ -4,8 +4,8 @@ //- include cover_page //- include 0_intro/0_intro //- include 1_low_pass/1_low_pass -include 2_band_pass/2_band_pass -//- include 3_band_elimination +//- include 2_band_pass/2_band_pass +include 3_band_elimination/3_band_elimination //- include 4_high_pass template#page-header